Производная Ли

Эта статья находится на начальном уровне проработки, в одной из её версий выборочно используется текст из источника, распространяемого под свободной лицензией
Материал из энциклопедии Руниверсалис

Производная Ли тензорного поля [math]\displaystyle{ Q }[/math] по направлению векторного поля [math]\displaystyle{ X }[/math] — главная линейная часть приращения тензорного поля [math]\displaystyle{ Q }[/math] при его преобразовании, которое индуцировано локальной однопараметрической группой диффеоморфизмов многообразия, порождённой полем [math]\displaystyle{ X }[/math].

Названа в честь норвежского математика Софуса Ли.

Обычно обозначается [math]\displaystyle{ \mathcal{L}_X Q }[/math].

Определения

Аксиоматическое

Производная Ли полностью определяется следующими своими свойствами. Такое определение наиболее удобно для практических вычислений, но требует доказательства существования.

  • Производная Ли [math]\displaystyle{ \mathcal{L}_X f }[/math] от скалярного поля [math]\displaystyle{ f }[/math] есть производная [math]\displaystyle{ f }[/math] по направлению [math]\displaystyle{ X }[/math].
    [math]\displaystyle{ \mathcal{L}_Xf=Xf. }[/math]
  • Производная Ли [math]\displaystyle{ \mathcal{L}_X Y }[/math] от векторного поля [math]\displaystyle{ Y }[/math] есть скобка Ли векторных полей. (Производная Ли от поля [math]\displaystyle{ Y }[/math] по направлению поля [math]\displaystyle{ X }[/math]).
    [math]\displaystyle{ \mathcal{L}_X Y=[X,Y]. }[/math]
  • Для произвольных векторных полей и 1-формы [math]\displaystyle{ \alpha }[/math] выполняется равенство (тождество Картана)
    [math]\displaystyle{ (\mathcal{L}_X\alpha)(Y)=(d\alpha)(X,Y)+Y\alpha(X). }[/math]
  • (правило Лейбница) Для произвольных тензорных полей S и T выполняется
    [math]\displaystyle{ \mathcal{L}_X(S\otimes T)=(\mathcal{L}_XS)\otimes T+S\otimes (\mathcal{L}_XT). }[/math]

Через поток

Пусть [math]\displaystyle{ M }[/math] — [math]\displaystyle{ n }[/math]-мерное гладкое многообразие и [math]\displaystyle{ X }[/math] — векторное поле на [math]\displaystyle{ M }[/math].

Рассмотрим поток [math]\displaystyle{ \Gamma^t_X\colon M\to M }[/math] по [math]\displaystyle{ X }[/math], определяемый соотношениями

[math]\displaystyle{ \frac{d}{dt}\Gamma^t_X(p)=X_{\Gamma^t_X(p)}, \Gamma^0_X(p) = p }[/math].

Обратное отображение к дифференциалу [math]\displaystyle{ \Gamma^t_X }[/math],

[math]\displaystyle{ (d_p\Gamma^t_X)^{-1}\colon T_{\Gamma^t_X(p)}\to T_p }[/math]

однозначно продолжается до гомоморфизма [math]\displaystyle{ h_t }[/math] алгебры тензоров над [math]\displaystyle{ T_{\Gamma^t_X(p)} }[/math] в алгебру тензоров над [math]\displaystyle{ T_p }[/math]. Таким образом, произвольное тензорное поле [math]\displaystyle{ Q }[/math] определяет однопараметрическое семейство полей [math]\displaystyle{ Q_t=h_t(Q) }[/math]. Производная Ли может быть определена как

[math]\displaystyle{ \mathcal{L}_X Q=\frac{d}{dt}Q_t|_{t=0} }[/math]

Выражения в координатах

[math]\displaystyle{ \mathcal{L}_\xi f = \xi^k \partial_k f, }[/math]

где [math]\displaystyle{ f }[/math] — скаляр.

[math]\displaystyle{ \mathcal{L}_\xi y = \xi^k \partial_k y^i - y^k \partial_k \xi^i, }[/math]

где [math]\displaystyle{ y }[/math] — вектор, а [math]\displaystyle{ y^i }[/math] — его компоненты.

[math]\displaystyle{ \mathcal{L}_\xi \omega = \xi^k \partial_k \omega_i + \omega_k \partial_i \xi^k, }[/math]

где [math]\displaystyle{ \omega }[/math] — 1-форма, а [math]\displaystyle{ \omega_i }[/math] — её компоненты.

[math]\displaystyle{ \mathcal{L}_\xi g = \xi^k \partial_k g_{ij} + \partial_i \xi^k g_{kj} + \partial_j \xi^k g_{ik}, }[/math]

где [math]\displaystyle{ g }[/math] — метрический тензор, а [math]\displaystyle{ g_{ij} }[/math] — его компоненты.

Производная Ли для тензорного поля в неголономном репере

Пусть тензорное поле К типа (p, q) задано в неголономном репере [math]\displaystyle{ \{ e_\alpha \} }[/math], тогда его производная Ли вдоль векторного поля Х задаётся следующей формулой:

[math]\displaystyle{ (\mathcal{L}_X K)^{(\alpha)}_{(\beta)} = XK^{(\alpha)}_{(\beta)}-\{ K^{(\alpha)}_{(\beta)}P^*_* \} }[/math],

где [math]\displaystyle{ (\alpha)=(\alpha_1 ... \alpha_p),(\beta)=(\beta_1 ... \beta_q) }[/math] и введены следующие обозначения:

[math]\displaystyle{ \{ K^{(\alpha)}_{(\beta)}P^*_* \}=\sum^p_{s=1}K^{\alpha_1...\sigma...\alpha_p}_{(\beta)}P^{\alpha_s}_\sigma-\sum^q_{s=1}K^{(\alpha)}_{\beta_1...\sigma...\beta_q}P^{\sigma}_{\beta_s} }[/math],

[math]\displaystyle{ P^\alpha_\beta=e_\beta \xi^\alpha-R^\alpha_{\sigma\beta} \xi^\sigma }[/math]

[math]\displaystyle{ R^\sigma_{\alpha\beta}e_\sigma=[e_\alpha,e_\beta] }[/math] — объект неголономности.

Свойства

  • [math]\displaystyle{ \mathcal{L}_X (s) }[/math] [math]\displaystyle{ \R }[/math]-линейно по [math]\displaystyle{ X }[/math] и по [math]\displaystyle{ s }[/math]. Здесь [math]\displaystyle{ s }[/math] — произвольное тензорное поле.
  • Производная Ли — дифференцирование на кольце тензорных полей.
  • На супералгебре внешних форм производная Ли является дифференцированием и однородным оператором степени 0.
  • Пусть [math]\displaystyle{ v }[/math] и [math]\displaystyle{ u }[/math] — векторные поля на многообразии, тогда [math]\displaystyle{ [\mathcal{L}_v, \mathcal{L}_u] = \mathcal{L}_v \mathcal{L}_u - \mathcal{L}_u \mathcal{L}_v }[/math] есть дифференцирование алгебры [math]\displaystyle{ C^\infty(M) }[/math], поэтому существует векторное поле [math]\displaystyle{ [v,u] }[/math], для которого [math]\displaystyle{ \mathcal{L}_{[v,u]} = [\mathcal{L}_v, \mathcal{L}_u] }[/math]. Это векторное поле называется скобкой Ли полей u и v (также их скобкой Пуассона или коммутатором).
  • Формула гомотопии (тождество Картана):
    [math]\displaystyle{ \mathcal{L}_v\omega = i_v d\omega + d i_v\omega. }[/math]
Здесь [math]\displaystyle{ \omega }[/math] — дифференциальная [math]\displaystyle{ k }[/math]-форма, [math]\displaystyle{ i_v }[/math] — оператор внутреннего дифференцирования форм, определяемый как [math]\displaystyle{ (i_v \omega)(X_1, \dots, X_{k-1}) = \omega (v, X_1, \dots, X_{k-1}) }[/math].
  • Как следствие, [math]\displaystyle{ \mathcal{L}_X d\omega = d \mathcal{L}_X \omega,\; \omega \in \Lambda^*(M) }[/math]
  • [math]\displaystyle{ \mathcal{L}_X (s) = \mathop{vpr}_F (Ts \circ X - X^F \circ s) }[/math]. Здесь [math]\displaystyle{ s }[/math] — гладкое сечение (естественного) векторного расслоения [math]\displaystyle{ F }[/math] (например, любое тензорное поле), [math]\displaystyle{ X^F }[/math] — поднятие векторного поля [math]\displaystyle{ X }[/math] на [math]\displaystyle{ F }[/math], [math]\displaystyle{ \mathop{vpr}_F }[/math] — оператор вертикального проектирования на [math]\displaystyle{ F }[/math]. (См. далее)

Физический смысл производной Ли

Пусть векторное поле [math]\displaystyle{ V(x, t) }[/math] есть поле скоростей неинерциальной системы отсчёта относительно инерциальной системы отсчёта, то есть в каждой точке пространства [math]\displaystyle{ x }[/math] в каждый момент времени [math]\displaystyle{ t }[/math] определена скорость координатных сеток этих систем относительно друг друга. Тогда производная Ли вдоль векторного поля [math]\displaystyle{ V(x, t) }[/math] переносит производную по времени от каких-либо тензорных полей [math]\displaystyle{ Q(x, t) }[/math] из неинерциальной системы отсчёта в инерциальную, тем самым определяя инвариантную производную по времени от тензорных полей.

Обобщения

Естественные расслоения

Пусть [math]\displaystyle{ F }[/math] — естественное гладкое расслоение, то есть функтор, действующий из категории гладких многообразий в категорию расслоений над ними: [math]\displaystyle{ F\colon M \mapsto (F(M),M,\pi_M),\; \pi_M\colon F(M)\to M }[/math]. Произвольное векторное поле [math]\displaystyle{ X\in TM }[/math] порождает однопараметрическую группу диффеморфизмов [math]\displaystyle{ \Gamma^t: M\to M }[/math], продолжающуюся с помощью [math]\displaystyle{ F }[/math] на пространство расслоения [math]\displaystyle{ F(M) }[/math], то есть [math]\displaystyle{ F(\Gamma^t):F(M)\to F(M) }[/math]. Производная этой группы в нуле даёт векторное поле [math]\displaystyle{ X^F\in TF(M) }[/math], являющееся продолжением [math]\displaystyle{ X }[/math]. Группа [math]\displaystyle{ F(\Gamma^t) }[/math] также позволяет определить производную Ли по [math]\displaystyle{ X }[/math] от произвольных сечений [math]\displaystyle{ s:M\to F(M) }[/math] по такой же формуле, как и в классическом случае:

[math]\displaystyle{ \mathcal{L}_X (s) = \left.\frac{d}{dt}\right|_{t=0} F(\Gamma^t)^* s = \left.\frac{d}{dt}\right|_{t=0} (F(\Gamma^{-t})\circ s \circ \Gamma^t) }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathcal{L}_X (s) = Ts \circ X - X^F \circ s }[/math]

Отметим, что в общем случае производная Ли является элементом соответствующего вертикального расслоения [math]\displaystyle{ VF(M) }[/math], то есть ядра отображения [math]\displaystyle{ T\pi_M: TF(M)\to TM }[/math], так как [math]\displaystyle{ T\pi_M \circ \mathcal{L}_X (s) = 0_M }[/math]. Если [math]\displaystyle{ F }[/math] — векторное расслоение, то существует канонический изоморфизм [math]\displaystyle{ vl:F(M)\times_M F(M) \simeq VF(M) }[/math]. Оператор вертикального проектирования [math]\displaystyle{ vpr_F = \mathrm{pr}_2\circ vl^{-1} }[/math] позволяет представить производную Ли как сечение исходного расслоения:

[math]\displaystyle{ \mathcal{L}_X (s) = \mathop{vpr}_F (Ts \circ X - X^F \circ s) }[/math]

Производная Ли по формам

Другое обобщение основано на исследовании супералгебры Ли дифференцирований супералгебры внешних форм. Среди всех таких дифференцирований особенно выделяются так называемые алгебраические, то есть те, которые равны 0 на функциях. Любое такое дифференцирование имеет вид [math]\displaystyle{ i_K }[/math], где [math]\displaystyle{ K\in TM\otimes \Lambda^*(M) }[/math] — тангенциальнозначная форма, а оператор внутреннего дифференцирования [math]\displaystyle{ i_K }[/math] определяется по формуле [math]\displaystyle{ (\omega \in \Lambda^{p+1} (M)) }[/math]

[math]\displaystyle{ i_K \omega = \mathrm{Alt}(\omega \circ (K\otimes id^{\otimes p})) }[/math]

Здесь [math]\displaystyle{ \mathrm{Alt} }[/math] — операция альтернирования отображения по всем переменным. Производная Ли по векторнозначной форме [math]\displaystyle{ K }[/math] определяется через суперкоммутатор операторов:

[math]\displaystyle{ \mathcal{L}_K = [ i_K , d ] }[/math]

Её значение определяется тем, что любое дифференцирование [math]\displaystyle{ D }[/math] супералгебры [math]\displaystyle{ \Lambda^*(M) }[/math] однозначно представимо в виде [math]\displaystyle{ D = \mathcal{L}_K + i_S }[/math], где [math]\displaystyle{ K }[/math], [math]\displaystyle{ S }[/math] — некоторые векторнозначные формы. Кроме того, по формуле [math]\displaystyle{ [\mathcal{L}_K, \mathcal{L}_S] = \mathcal{L}_{[K,S]} }[/math] можно ввести скобку Фролиха-Ниенхойса тангенциальнозначных форм.

Литература

  • Ш. Кобаяси, К. Номидзу. Основы дифференциальной геометрии. — 1981. — Т. 1. — 344 с.
  • Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т. Современная геометрия: Методы и приложения. — 2-е, перераб. — М.: Наука, 1986. — Т. 1. — 760 с.
  • Ivan Kolář, Peter W. Michor, Jan Slovák. Natural operations in differential geometry. — 1-е изд. — Springer, 1993. — 434 с. — ISBN 978-3540562351. Архивная копия от 30 марта 2017 на Wayback Machine

См. также

Источник — https://xn--h1ajim.xn--p1ai/index.php?title=Производная_Ли&oldid=5831285